Question

2．双曲线与椭圆4x²+y²=1有相的焦点，它的一条渐近线方程是y=$\sqrt{2}$x，则这双曲线的方程是4y²-2x²=1．

Answer 1

分析 将椭圆化成标准方程，可得焦点坐标为（0，±$\frac{\sqrt{3}}{2}$），因此设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞0，b＞0），由c²=a²+b²，根据渐近线方程建立关于a的等式，算出a和b的值即可得到该双曲线的方程．

解答 解：由椭圆方程为：$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}+{y}^{2}=1$，焦点在y轴上，焦点坐标为（0，±$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设双曲线方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}=1$，（a＞0，b＞0）
渐近线方程y=±$\frac{a}{b}$x，
∴a=$\sqrt{2}$b，
∵c²=a²+b²，
∴$\frac{3}{4}$=2b²+b²，整理得：b²=$\frac{1}{4}$，a²=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{4}}-\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{2}}=1$，
整理得：4y²-2x²=1，
故答案为：4y²-2x²=1．

点评 本题考查双曲线的标准方程．着重考查了椭圆、双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．