Question

12．已知p：?x∈R使mx²-mx+1＜0成立，q：方程$\frac{x^2}{m-1}+\frac{y^2}{3-m}=1$的曲线是双曲线，若命题p∧q为假命题、命题p∨q为真命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 若命题p∧q为假命题、命题p∨q为真命题，则命题p，q一真一假，进而可得实数m的取值范围．

解答 解：若命题p：?x∈R使mx²-mx+1＜0成立，
则$\left\{\begin{array}{l}m＞0\\△={m}^{2}-4m＞0\end{array}\right.$，或m＜0，
解得：m＜0，或m＞4
若命题q：方程$\frac{x^2}{m-1}+\frac{y^2}{3-m}=1$的曲线是双曲线，
则（m-1）（3-m）＜0，
解得：m＜1，或m＞3，
若命题p∧q为假命题、命题p∨q为真命题，则命题p，q一真一假，
若p真q假，则不存在满足条件的m值；
若p假q真，则m∈（0，1]∪[3，4），
综上可得：m∈（0，1]∪[3，4）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，双曲线的标准方程，特称命题的否定等知识点，难度中档．