题目内容

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等腰直角三角形，
AB=BC= $数学公式$ ，BB₁=3，D为A₁C₁的中点，F在线段AA₁上．
（1）AF为何值时，CF⊥平面B₁DF？
（2）设AF=1，求平面B₁CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

解：（1）因为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
BB₁⊥面ABC，∠ABC= $\text{[math]}$ ．
以B点为原点，BA、BC、BB₁分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．
因为AC=2，∠ABC=90°，所以AB=BC= $\text{[math]}$ ，
从而B（0，0，0），A $\text{[math]}$ ，C $\text{[math]}$ ，B₁（0，0，3），A₁ $\text{[math]}$ ，C₁ $\text{[math]}$ ，D $\text{[math]}$ ，E $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$ ，
设AF=x，则F（ $\text{[math]}$ ，0，x）， $\text{[math]}$ . $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．
要使CF⊥平面B₁DF，只需CF⊥B₁F．
由 $\text{[math]}$ =2+x（x-3）=0，得x=1或x=2，
故当AF=1或2时，CF⊥平面B₁DF．（5分）
（2）由（1）知平面ABC的法向量为n₁=（0，0，1）．
设平面B₁CF的法向量为n=（x，y，z），则由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$
令z=1得 $\text{[math]}$ ，
所以平面B₁CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值 $\text{[math]}$ ．
分析：本题适合建立空间坐标系得用向量法解决这个立体几何问题，建立空间坐标系，给出有关点的坐标，设出点F的坐标，（I）由线面垂直转化为线的方向向量与面的法向量垂直，利用二者内积为零建立关于参数的方程参数．（II）求出两平面的法向量，利用夹角公式求二面角的余弦值即可．
点评：考查用空间向量为工具解决立体几何问题，此类题关键是找清楚线的方向向量、面的法向量以及这些向量内积为0、共线等与立体几何中线面、面面位置关系的对应．