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精英家教网如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=
2
,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角线交于点D,B1C1的中点为M,求证:CD⊥平面BDM.
分析:先以CB为x轴,CC1为y轴,CA为z轴建立空间直角坐标系,然后分别确定点B、M、D的坐标,进而确定
CD
BD
BM
的坐标,再通过计算得向量乘积为0,证得
CD
BD
CD
BM
,则问题得证.
解答:精英家教网证明:由题意知AC、BC、CC1两两垂直,
则以CB为x轴,CC1为y轴,CA为z轴建立空间直角坐标系.
因为CB=
2
,CC1=AA1=1,CA=1,M为B1C1的中点.
所以B(
2
,0,0),M(
2
2
,1,0),
又因为点D是矩形AA1B1B的两条对角线的交点,
所以D(
2
2
1
2
1
2
),
CD
=(
2
2
1
2
1
2
),
BM
=(-
2
2
,1,0),
BD
=(-
2
2
1
2
1
2
),
所以
CD
BM
=-
1
2
+
1
2
=0,
CD
BD
=-
1
2
+
1
4
+
1
4
=0,
所以
CD
BM
CD
BD

又BM∩BD=B,
所以CD⊥平面BDM.
点评:本题考查向量法解决立体几何问题.
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