题目内容
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=2 |
分析:先以CB为x轴,CC1为y轴,CA为z轴建立空间直角坐标系,然后分别确定点B、M、D的坐标,进而确定
、
、
的坐标,再通过计算得向量乘积为0,证得
⊥
,
⊥
,则问题得证.
CD |
BD |
BM |
CD |
BD |
CD |
BM |
解答:证明:由题意知AC、BC、CC1两两垂直,
则以CB为x轴,CC1为y轴,CA为z轴建立空间直角坐标系.
因为CB=
,CC1=AA1=1,CA=1,M为B1C1的中点.
所以B(
,0,0),M(
,1,0),
又因为点D是矩形AA1B1B的两条对角线的交点,
所以D(
,
,
),
则
=(
,
,
),
=(-
,1,0),
=(-
,
,
),
所以
•
=-
+
=0,
•
=-
+
+
=0,
所以
⊥
,
⊥
,
又BM∩BD=B,
所以CD⊥平面BDM.
则以CB为x轴,CC1为y轴,CA为z轴建立空间直角坐标系.
因为CB=
2 |
所以B(
2 |
| ||
2 |
又因为点D是矩形AA1B1B的两条对角线的交点,
所以D(
| ||
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
则
CD |
| ||
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
BM |
| ||
2 |
BD |
| ||
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
所以
CD |
BM |
1 |
2 |
1 |
2 |
CD |
BD |
1 |
2 |
1 |
4 |
1 |
4 |
所以
CD |
BM |
CD |
BD |
又BM∩BD=B,
所以CD⊥平面BDM.
点评:本题考查向量法解决立体几何问题.
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