题目内容
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=a,AA1=2a,D棱B1B的中点.
(Ⅰ)证明:A1C1∥平面ACD;
(Ⅱ)求异面直线AC与A1D所成角的大小;
(Ⅲ)证明:直线A1D⊥平面ADC.
(Ⅰ)证明:A1C1∥平面ACD;
(Ⅱ)求异面直线AC与A1D所成角的大小;
(Ⅲ)证明:直线A1D⊥平面ADC.
分析:(Ⅰ)证明A1C1∥AC,然后证明A1C1∥平面ACD.
(Ⅱ)先证明A1A⊥AC.再证明AC⊥平面A1ABB1,推出异面直线AC与A1D所成的角为90°.
(Ⅲ) 先证明 A1D⊥AD,再由(Ⅱ)知A1D⊥AC,故得到A1D⊥平面ACD
(Ⅱ)先证明A1A⊥AC.再证明AC⊥平面A1ABB1,推出异面直线AC与A1D所成的角为90°.
(Ⅲ) 先证明 A1D⊥AD,再由(Ⅱ)知A1D⊥AC,故得到A1D⊥平面ACD
解答:解:(Ⅰ)证:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC∥A1C1 …(2分)
又A1C1?平面ACD∴A1C1∥平面ACD …(4分)
(Ⅱ)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面ABC
∴A1A⊥AC …(6分) 又∠BAC=90°∴AC⊥AB
∴AC⊥平面A1ABB1 …(8分)
又A1D?平面A1ABB1,∴AC⊥A1D
∴异面直线AC与A1D所成的角大小为
.…(9分)
(Ⅲ)∵△A1B1D和△ABD都为等腰直角三角形,∴∠A1DB1=∠ADB=45°
∴∠A1DA=90°即 A1D⊥AD …(11分)
由(Ⅱ)知A1D⊥AC,
∴A1D⊥平面ACD …(14分)
又A1C1?平面ACD∴A1C1∥平面ACD …(4分)
(Ⅱ)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥平面ABC
∴A1A⊥AC …(6分) 又∠BAC=90°∴AC⊥AB
∴AC⊥平面A1ABB1 …(8分)
又A1D?平面A1ABB1,∴AC⊥A1D
∴异面直线AC与A1D所成的角大小为
π |
2 |
(Ⅲ)∵△A1B1D和△ABD都为等腰直角三角形,∴∠A1DB1=∠ADB=45°
∴∠A1DA=90°即 A1D⊥AD …(11分)
由(Ⅱ)知A1D⊥AC,
∴A1D⊥平面ACD …(14分)
点评:本题考查直线与平面平行,异面直线所成的角,直线与平面所成的角的求法,考查空间想象能力,计算能力.
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