Question

如图，F₁、F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

24

=1（a＞0）的左、右焦点，过F₁的直线l与双曲线交于点A、B，若△ABF₂为等边三角形，则△BF₁F₂的面积为（　　）

• A、8
• B、8

  2

• C、8

  3

• D、16

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据双曲线的定义算出△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，由△ABF₂是等边三角形得∠F₁AF₂=120°，利用余弦定理算出c=

7

a，可得a=2，即可求出△BF₁F₂的面积

解答： 解：根据双曲线的定义，可得|BF₁|-|BF₂|=2a，
∵△ABF₂是等边三角形，即|BF₂|=|AB|
∴|BF₁|-|BF₂|=2a，即|BF₁|-|AB|=|AF₁|=2a
又∵|AF₂|-|AF₁|=2a，
∴|AF₂|=|AF₁|+2a=4a，
∵△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，∠F₁AF₂=120°
∴|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²-2|AF₁|•|AF₂|cos120°
即4c²=4a²+16a²-2×2a×4a×（-

1

2

）=28a²，解之得c=

7

a，
∴a²+24=7a²，∴a=2，
∴△BF₁F₂的面积为S△BF1F2-S△ABF2=

1

2

×8×12×

3

2

-

3

4

×(4×2)2=8

3

．
故选：C．

点评：本题给出经过双曲线左焦点的直线被双曲线截得弦AB与右焦点构成等边三角形，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．