Question

6．已知F为抛物线C：y²=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l₁，l₂，直线l₁与C交于A、B两点，直线l₂与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为（　　）

• A． 16
• B． 14
• C． 12
• D． 10

Answer 1

分析 方法一：根据题意可判断当A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，|AB|+|DE|最小，根据弦长公式计算即可．
方法二：设出两直线的倾斜角，利用焦点弦的弦长公式分别表示出|AB|，|DE|，整理求得答案

解答 解：如图，l₁⊥l₂，直线l₁与C交于A、B两点，
直线l₂与C交于D、E两点，
要使|AB|+|DE|最小，
则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，
又直线l₂过点（1，0），
则直线l₂的方程为y=x-1，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，则y²-4y-4=0，
∴y₁+y₂=4，y₁y₂=-4，
∴|DE|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•|y₁-y₂|=$\sqrt{2}$×$\sqrt{32}$=8，
∴|AB|+|DE|的最小值为2|DE|=16，
方法二：设直线l₁的倾斜角为θ，则l₂的倾斜角为 $\frac{π}{2}$+θ，
根据焦点弦长公式可得|AB|=$\frac{2p}{si{n}^{2}θ}$=$\frac{4}{si{n}^{2}θ}$
|DE|=$\frac{2p}{si{n}^{2}（\frac{π}{2}-θ）}$=$\frac{2p}{co{s}^{2}θ}$=$\frac{4}{co{s}^{2}θ}$
∴|AB|+|DE|=$\frac{4}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{4}{co{s}^{2}θ}$=$\frac{4}{si{n}^{2}θco{s}^{2}θ}$=$\frac{16}{si{n}^{2}2θ}$，
∵0＜sin²2θ≤1，
∴当θ=45°时，|AB|+|DE|的最小，最小为16，
故选：A

点评 本题考查了抛物线的简单性质以及直线和抛物线的位置关系，弦长公式，对于过焦点的弦，能熟练掌握相关的结论，解决问题事半功倍属于中档题．