Question

已知函数f（x）=b•a^x（其中a，b为常数且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，6），B（3，24）．
（1）试确定f（x）=b•a^x的解析式（即求a，b的值）
（2）若对于任意的x∈（-∞，1]，（

1

a

）^x+（

1

b

）^x-m≥0恒成立，求m的取值范围；
（3）若g（x）=

cxf(x)

2x(x2-1)

（c≠0，c为常数），试讨论g（x）在区间（-1，1）上的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法,函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题知6=ba，24=ba³，由此能求出f（x）=3•2^x．
（2）(

1

2

)x+(

1

3

)x-m≥0在（-∞，1]上恒成立，即(

1

2

)x+(

1

3

)x≥m在（-∞，1]上恒成立，由此利用构造法能求出m的取值范围．
（3）g(x)=

3cx

x2-1

，x∈（-1，1），利用定义法推导出当c＞0时，g(x)=

3cx

x2-1

，x∈（-1，1）单调递减；当c＜0时，g(x)=

3cx

x2-1

，x∈（-1，1）单调递增．

解答： 解：（1）由题知6=ba，24=ba³，
解得b=3，a=2，
∴f（x）=3•2^x（3分）
（2）(

1

2

)x+(

1

3

)x-m≥0在（-∞，1]上恒成立，
即(

1

2

)x+(

1

3

)x≥m在（-∞，1]上恒成立，
令h(x)=(

1

2

)x+(

1

3

)x，x∈（-∞，1]，即m≤h（x）_min，（2分）
由于h(x)=(

1

2

)x+(

1

3

)x，x∈（-∞，1]是减函数，
故h(x)min=h(1)=

5

6

，即m≤

5

6

（2分）
（3）g(x)=

3cx

x2-1

，x∈（-1，1），（1分）
下面证明单调性．
任取-1＜x₁＜x₂＜1，
则g(x1)-g(x2)=

3cx1

x12-1

-

3cx2

x22-1

=

3c(x2-x1)(x1x2+1)

(x12-1)(x22-1)

，（2分）
由-1＜x₁＜x₂＜1知

3(x2-x1)(x1x2+1)

(x12-1)(x22-1)

＞0，（1分）故
当c＞0时，g（x₁）-g（x₂）＞0，
即g（x₁）＞g（x₂），g(x)=

3cx

x2-1

，x∈（-1，1）单调递减；
当c＜0时，g（x₁）-g（x₂）＜0，
即g（x₁）＜g（x₂），g(x)=

3cx

x2-1

，x∈（-1，1）单调递增．（2分）

点评：本题考查函数的解析式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数的单调性的判断，解题时要注意函数的性质的合理运用．