Question

（本题满分14分）已知如图，椭圆方程为.P为椭圆上的动点,

F₁、F₂为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F₁作∠F₁PF₂的外角
平分线的垂线F₁M,垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．
（1）求M点的轨迹T的方程；（2）已知、，
试探究是否存在这样的点：是轨迹T内部的整点
（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积？
若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)  

（1）当点P不在x轴上时，延长F₁M与F₂P的延长线相交
于点N,连结OM，∵, 
∴≌ ∴M是线段的中点，|----------2分
∴= ==
∵点P在椭圆上∴＝   ∴＝4，----------------------4分
当点P在x轴上时，M与P重合
∴M点的轨迹T的方程为：.----------------------6分
（2）连结OE，易知轨迹T上有两个点
A，B满足,
分别过A、B作直线OE的两条平行线、.
∵同底等高的两个三角形的面积相等
∴符合条件的点均在直线、上.------ ----------7分
∵  ∴直线、的方程分别为：、-------------------8分
设点 （ ）∵在轨迹T内，∴--------------------------------9分
分别解与得 与 -------11分
∵∴为偶数，在上对应的
在上，对应的-----------13分
∴满足条件的点存在，共有6个，它们的坐标分别为：
．------------14分