题目内容
已知椭圆
,是否存在斜率为k(k≠0)的直线
,使与椭圆交于不同的两点A、B，且线段
的垂直平分线经过点M（0,－1），求斜率k的取值范围.
,是否存在斜率为k(k≠0)的直线,使与椭圆交于不同的两点A、B，且线段的垂直平分线经过点M（0,－1），求斜率k的取值范围.
假设存在直线满足条件，设直线方程为:y=kx+b,则
由方程组
消
得: (3k2+1)x2+6bkx+3b2－3="0" , 因为直线与椭圆交于不同两点,
所以△=(6bk)2－4(3k2+1)(3b2－3)>0,整理得:3k2+1>b2--------①
设A（x,y）,B(x2,y2)，AB的中点为
,
∵点A、B在椭圆上,∴
,两式相减得:
,∴
,
又由中点坐标公式得:
,
,∴
--------②
又因为点
在线段AB的中垂线上,即直线
的斜率为
-------③，由②③得：
,
,
因为AB的中点在直线上,所以
, 即有
-------④,
将④代入①得:
,解得:
,又因为
,
所以存在斜率为k(k≠0)的直线,使与椭圆交于不同的两点A、B，且线段的垂直平分线经过点M（0,－1），,故k的取值范围是.
满足条件，设直线方程为:y=kx+b,则由方程组
消得: (3k2+1)x2+6bkx+3b2－3="0" , 因为直线与椭圆交于不同两点,所以△=(6bk)2－4(3k2+1)(3b2－3)>0,整理得:3k2+1>b2--------①
设A（x,y）,B(x2,y2)，AB的中点为
,∵点A、B在椭圆上,∴
,两式相减得:,∴, 又由中点坐标公式得:
,,∴--------② 又因为点
在线段AB的中垂线上,即直线的斜率为-------③，由②③得：,,因为AB的中点
在直线上,所以, 即有-------④,将④代入①得:
,解得:,又因为,所以存在斜率为k(k≠0)的直线
,使与椭圆交于不同的两点A、B，且线段的垂直平分线经过点M（0,－1），,故k的取值范围是.
练习册系列答案
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，点
在直线
上运动，过点
垂直的直线和
的中垂线相交于点
．
的方程；
，
在
轴上，圆
（
为参数）内切于
，求
是其左顶点，点C在椭圆上且
和椭圆交于M，N两个不同点，求
面积的最大值，并求此时直线
轴上，原点O为AB的中点，
，D是OC的中点．以A、B为焦点的椭圆E经过点D． 
与椭圆E相交于不同的两点M、N，点M在点C、N之间，且
，求
的取值范围．
.P为椭圆上的动点,
、
，
：
？
在以原点为圆心的单位圆上运动,则点
的轨迹是( )
+y2="1" 
+x2="1" 
+y2="1" 
+x2=1
）。设
与x轴正方向的夹角分别为α、β、γ，若
。
与轨迹G交于不同两点M、N。问在x轴上是否存在一点
，使△MNE为正三角形。若存在求出
值；若不存在说明理由。
、
，动点
满足
,则点P的轨迹是（ ）