Question

（本小题满分13分）
已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）

（Ⅰ）由题意知，
所以．即．
又因为，所以，．
故椭圆的方程为．…………………………………………4分
（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．
由 得．      ①
…………………………………………6分
设点，，则．
直线的方程为．
令，得．
将，代入，
整理，得．                  ②
由①得 ，代入②
整理，得．
所以直线与轴相交于定点．……………………………………9分
（Ⅲ）当过点直线的斜率存在时，设直线的方程为，且
，在椭圆上．
由 得．  
易知．
所以，，．
则．
因为，所以．
所以．
当过点直线的斜率不存在时，其方程为．
解得，．
此时．
所以的取值范围是．……………………………………13分