Question

某联欢晚会矩形抽奖活动，举办方设置了甲乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为

2

3

，中奖可以获得2分，方案乙的中奖率为

2

5

，中奖可以得3分，未中奖则不得分，每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（1）若小明选择方案甲，小红选择方案乙，记他们的累计得分为X，求X＜4的概率；
（2）若小明小红两人选择同一方案抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望最大？

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（1）记“这两人的累计得分X＜4”的事件为A，则事件A的对立事件为“X=5”，由此能求出这两人的累计得分X＜4的概率．
（2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为ξ，都选择方案乙抽奖中奖的次数为η，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E（2ξ），选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E（3η），由此能求出他们选择甲种方案抽奖，累计得分的数学期望最大．

解答： 解：（1）记“这两人的累计得分X＜4”的事件为A，则事件A的对立事件为“X=5”，
∵P（X=5）=

2

3

×

2

5

=

4

15

，
∴P（A）=1-P（X=5）=1-

4

15

=

11

15

，
∴这两人的累计得分X＜4的概率为

11

15

．
（2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为ξ，都选择方案乙抽奖中奖的次数为η，
则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E（2ξ），
选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E（3η），
由已知得ξ～B（2，

2

3

），η～B（2，

2

5

），
∴E（ξ）=2×

2

3

=

4

3

，E（η）=2×

2

5

=

4

5

，
∴E（2ξ）=

8

3

＞E（3η）=

12

5

，
∴他们选择甲种方案抽奖，累计得分的数学期望最大．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．