Question

15．已知：抛物线方程；y²=2px（p＞0），经过原点O的直线；x+3y=0与抛物线交于点A，点B在抛物线上，且直线OB⊥OA，△AOB的面积为60．求：
（1）抛物线的方程；
（2）直线AB的方程．

Answer 1

分析 （1）将直线x+3y=0代入抛物线方程y²=2px，求得A的坐标；将直线y=3x代入抛物线方程y²=2px，求得B的坐标，再由三角形的面积公式，结合两点的距离公式，解方程可得p=3，进而得到抛物线的方程；
（2）求得A，B的坐标，求得AB的斜率，由点斜式方程，可得直线AB的方程．

解答 解：（1）将直线x+3y=0代入抛物线方程y²=2px，
可得y²=-6py，解得y=0或-6p，
即有A的坐标为（18p，-6p），
直线OB⊥OA，可得直线OB的方程为y=3x，
代入抛物线的方程，可得B（$\frac{2P}{9}$，$\frac{6P}{9}$），
由△AOB的面积为60，可得$\frac{1}{2}$•|OA|•|OB|=60，
即为$\sqrt{324{p}^{2}+36{p}^{2}}$•$\sqrt{\frac{4{p}^{2}}{81}+\frac{36{p}^{2}}{81}}$=120，
解得p=3．
即有抛物线的方程为y²=6x；
（2）由（1）可得A（54，-18），B（$\frac{2}{3}$，2），
直线AB的斜率为k=$\frac{2+18}{\frac{2}{3}-54}$=-$\frac{3}{8}$，
即有直线AB的方程为y+18=-$\frac{3}{8}$（x-54），
即为3x+8y-18=0．

点评 本题考查抛物线的方程的运用，注意直线方程和抛物线方程联立，考查直线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．