Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，，，，，直线与平面所成的角为，是的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正切值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）根据已知可以证明出为平行四边形，利用平行四边形的性质，结合余弦定理，勾股定理的逆定理，根据线面、面面垂直的判定定理进行证明即可；

（2）设为中点，连接，，则，由（1）中的结论可以证明平面平面，从而有平面，为直线与平面所成的角，利用锐角的三角函数值定义进行求解即可.

（1）由已知，，且，则为平行四边形，

，又，则，由知，

则为正三角形，

在中，，，

由余弦定理知，，

有，，

又，，则平面，

而平面，则平面平面.

（2）设为中点，连接，，则，

因为平面，平面，则平面平面，

则平面，为直线与平面所成的角，

又直线与平面所成的角为，则，

又，，

所以在中，，

即直线与平面所成角的正切值为.