Question

【题目】已知椭圆的左右焦点分别为，，椭圆上一点到的距离之和为4．过点作直线的垂线交直线于点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）试判断直线与椭圆公共点的个数，并说明理由；

（3）直线与直线交于点，求的值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）答案见解析．（3）

【解析】

（1）根据题意，可得出，已知条件结合椭圆的定义得，再由求出，即可得到椭圆的方程；

（2）设，，直线的方程从而得出，求出的方程，与椭圆联立解方程求解，即可判断出直线与椭圆公共点的个数；

（3）由（2）知，直线的方程为：，与直线交于点，运用两点间距离公式，可分别求出和，从而得出的值．

（1）设椭圆的焦距为，

因为，为椭圆的左右焦点，所以，

因为点到的距离之和为4，所以，即，

所以，

所以，椭圆的标准方程．

（2）设，，由点在椭圆上得，

直线的方程为，它与直线交于点，

所以，直线的方程为，结合，

直线的方程可化为．

与椭圆联立，整理得，解得．

所以直线与椭圆只有一个公共点．

（3）由（2）知，直线的方程为：，

它与直线交于点，则，

，

所以，．