题目内容
【题目】已知椭圆E的一个顶点为
，焦点在x轴上，若椭圆的右焦点到直线
的距离是3．
求椭圆E的方程；
设过点A的直线l与该椭圆交于另一点B，当弦AB的长度最大时，求直线l的方程．
【答案】（1）
（2）
或
【解析】
（1）根据点到直线的距离列式求得c，再求得a；
（2）根据弦长公式求得弦长后，换元成二次函数求最值．
（1）由题意，
右焦点
到直线
的距离
,
，
,
∵椭圆
的焦点在
轴上，所以椭圆的方程为
（2）〖解法1〗当
不存在时，
当存在时，设直线方程为
，联立
，得
，
令
则
所以，当
，即
，得
时
的最大值为
，即
的最大值为
直线的方程为
.
（2）〖解法2〗设直线
的倾斜角为
，则直线的参数方程为
（
为参数），
设
点对应的参数分别为
，且
;
将参数方程代入椭圆方程可得：
，
化简可得：
，
若
，则上面的方程为
，则
,矛盾
若
，则，
，
则弦
长为
上式
，
当且仅当
即
或
，
时等号成立.
直线方程为：或
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