Question

10．将函数$y=sin（{x-\frac{π}{3}}）$的图象上每点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$倍（纵坐标不变），得到函数y=f（x）的图象．
（1）求函数f（x）的解析式及其图象的对称轴方程；
（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若$f（A）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}，a=2，b=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，求sinB的值．

Answer 1

分析 （1）由题意和图象平移变换法则求出f（x）的解析式，由整体思想和正弦函数的对称轴方程求出其图象的对称轴方程；
（2）由（1）化简$f（A）=\frac{\sqrt{3}}{2}$，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A，由条件和正弦定理求出sinB的值．

解答 解：（1）由题意得，f（x）=$sin（2x-\frac{π}{3}）$，
令$2x-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+kπ（k∈Z）$得，$x=\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}（k∈Z）$，
所以f（x）的图象的对称轴方程是$x=\frac{5π}{12}+\frac{kπ}{2}（k∈Z）$；
（2）由（1）得，$f（A）=sin（2A-\frac{π}{3}）=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
因0＜A＜π，所以$-\frac{π}{3}＜2A-\frac{π}{3}＜\frac{4π}{3}$，
则$2A-\frac{π}{3}=\frac{π}{3}$或$2A-\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$，解得A=$\frac{π}{3}$或A=$\frac{π}{2}$，
当A=$\frac{π}{3}$时，因为$a=2，b=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
则$sinB=\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$；
当A=$\frac{π}{2}$时，因为$a=2，b=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
所以由正弦定理得$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，
则$sinB=\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}×1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查正弦定理，三角函数图象平移变换法则，以及正弦函数的对称轴方程的应用，考查整体思想，化简、计算能力．