Question

7．如图，在四面体ABCD中，△ABD，△ACD，△DBC和△ABC全等，且AB=AC=$\sqrt{3}$，BC=2；求证：平面BCD⊥平面ABC．

Answer 1

分析 欲证明平面BCD⊥平面ABC，首先根据二面角的平面角的定义构造出对应的二面角A-BC-D的平面角，求出二面角A-BC-D的大小为90°，从而得到平面BCD⊥平面ABC．

解答 证明：取BC的中点E，连结AE、DE．∵AB=AC，∴AE⊥BC．
又△ABD≌△DBC，AB=AC，
∴DB=DC，DE⊥BC．
∴∠AED为二面角ABCD的平面角．
又△ABC≌△DBC，且△ABC是以BC为底的等腰三角形，
△DBC也是以BC为底的等腰三角形，所以AB=AC=DB=DC=$\sqrt{3}$．
又△ABD≌△BDC，∴AD=BC=2．
在Rt△DEB中，DB=$\sqrt{3}$，BE=1，
∴DE=$\sqrt{D{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
同理，AE=$\sqrt{2}$．
在△AED中，AE=DE=$\sqrt{2}$，AD=2，
∴AD²+DE²=AD²，∠AED=90°，
∴二面角A-BC-D的大小为90°．
∴平面BCD⊥平面ABC．

点评 本题考查面面垂直的证明，考虑根据二面角的平面角的定义构造出相应的平面角，而在构造过程中，往往离不开添加垂线，利用线面垂直、面面垂直关系从而达到目的，最后问题通常转化为解三角形．