Question

正三棱锥侧棱与底面所成角的大小为45°，若该三棱锥的体积为

2

3

，则它的表面积为

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：由题意，顶点在底面中的射影是底面的中心，从而利用侧棱与底面所成角为45°角，设底面边长为3a，可求高，从而得解

解答： 解：设底面边长为3a，则
由题意，顶点在底面中的射影是底面的中心，从而有高为

3

a，
∵三棱锥的体积为

2

3

，
∴

1

3

•

3

4

•9a2•

3

a=

2

3

，
∴a³=

8

27

，
∵斜高为

15

2

a，
∴表面积为

3

4

a2+

1

2

×9a×

15

2

a=

18 15 +2 3

27

．
故答案为：

18 15 +2 3

27

．

点评：本题主要考查棱锥，线面关系、直线与平面所成的角、点到面的距离等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．