Question

9．设S=log_a3t，T=log_a（t²-4）（a＞0，a≠1），试讨论S和T的大小．

Answer 1

分析 由3t＞0，t²-4＞0，解得：t＞2．g（t）=T-S=$lo{g}_{a}\frac{{t}^{2}-4}{3t}$，令f（t）=$\frac{{t}^{2}-4}{3t}$，利用导数研究其单调性即可得出．对a与t分类讨论即可得出．

解答 解：由3t＞0，t²-4＞0，解得：t＞2．
g（t）=T-S=log_a（t²-4）-log_a（3t）=$lo{g}_{a}\frac{{t}^{2}-4}{3t}$，
令f（t）=$\frac{{t}^{2}-4}{3t}$=$\frac{1}{3}（t-\frac{4}{t}）$，f′（t）=$\frac{1}{3}（1+\frac{4}{{t}^{2}}）$＞0，
∴函数f（t）在（2，+∞）上单调递增．
①a＞1时，由$\frac{{t}^{2}-4}{3t}$＞1，解得t＞4，此时函数g（t）＞0，T＞S．
当t=4时，此时函数g（t）=0，T=S．
2＜t＜4，此时函数g（t）＜0，T＜S．
②0＜a＜1时，由$\frac{{t}^{2}-4}{3t}$＞1，解得t＞4，此时函数g（t）＜0，T＜S．
当t=4时，此时函数g（t）=0，T=S．
2＜t＜4，此时函数g（t）＞0，T＞S．

点评 本题考查了对数函数的运算法则、不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．