Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2，E，F分别是棱AB，BC 上的点，且EB=FB=1．
（1）求异面直线EC₁与FD₁所成角的余弦值；
（2）试在面A₁B₁C₁D₁ 上确定一点G，使DG⊥平面D₁EF．

Answer 1

【答案】分析：（1）以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A-xyz，写出要用的点的坐标，把两条直线对应的点的坐标写出来，根据两个向量之间的夹角表示出异面直线的夹角．
（2）因为点G在平面A₁B₁C₁D₁ 上，故可设G（x，y，2）．根据线面垂直，则直线的方向向量与平面内任一线段对应的向量均垂直，可构造关于x，y的方程组，解方程组可得G点位置．
解答：解：（1）以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系，
则有D₁（0，0，2），C₁（0，4，2），E（3，3，0），F（2，4，0），
于是=（-3，1，2），=（-2，-4，2），
设设EC₁与FD₁所成角为β，
则cosβ==．
∴异面直线EC₁与FD₁所成角的余弦值为．
（2）因为点G在平面A₁B₁C₁D₁ 上，故可设G（x，y，2）．
=（x，y，2），=（-2，-4，2），=（-1，1，0）．
由得
解得
故当点G在平面A₁B₁C₁D₁ 上，
且到A₁d₁，C₁D₁ 距离均为时，DG⊥平面D₁EF
点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，异面直线的夹角，其中建立空间坐标系，将空间线面关系问题转化为向量夹角问题是解答的关键．