Question

设S_n表示数列{a_n}的前n项和．

(1)若{a_n}是等差数列，推导S_n的计算公式；

(2)若a₁＝1，q≠0，且对所有正整数n，有S_n＝.判断{a_n}是否为等比数列，并证明你的结论．

Answer 1

 (1)方法一：设{a_n}的公差为d，则

S_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n＝a₁＋(a₁＋d)＋…＋[a₁＋(n－1)d]，

又S_n＝a_n＋a_n－1＋…＋a₁

＝[a₁＋(n－1)d]＋[a₁＋(n－2)d]＋…＋a₁，

∴2S_n＝[2a₁＋(n－1)d]＋[2a₁＋(n－1)d]＋…＋[2a₁＋(n－1)d]＝2na₁＋n(n－1)d，

∴S_n＝na₁＋d.

方法二：设{a_n}的公差为d，则

S_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n＝a₁＋(a₁＋d)＋…＋[a₁＋(n－1)d]，

又S_n＝a_n＋(a_n－d)＋…＋[a_n－(n－1)d]，两式相加得2S_n＝n(a₁＋a_n)，

∴S_n＝.

(2){a_n}是等比数列，证明如下：∵S_n＝，

∴a_n＋1＝S_n＋1－S_n＝－＝＝qⁿ.

∵a₁＝1，q≠0，∴当n≥1时，有＝q，

因此，{a_n}是首项为1且公比为q的等比数列．