Question

如图2-3所示，已知点A(2,8)，B(x ₁ ,y ₁ ),C(x ₂ ,y ₂ )在抛物线y ² =2px上，△ABC的重心与此抛物线的焦点F重合.

  图2-3

(1)写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；

(2)求线段BC中点M的坐标；

(3)求BC所在直线的方程.

Answer 1

 解 : (1)由点A(2，8)在抛物线y ² =2px上，有

8 ² =2p·2,解得p=16.

所以抛物线方程为y ² =32x，焦点F的坐标为(8，0)；

(2)如图，由F(8，0)是△ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的定比分点，且 =2，设点M的坐标为(x ₀ ,y ₀ )，则 =8， =0,

解得x ₀ =11,y ₀ =-4  所以点M的坐标为(11，-4)；

(3)由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在的直线不垂直于x轴.

设BC所成直线的方程为y+4=k(x-11)(k≠0),

由 消x得ky ² -32y-32(11k+4)=0,

所以y ₁ +y ₂ = ,由(Ⅱ)的结论得 =-4，解得k=-4,

因此BC所在直线的方程为y+4=-4(x-11),即4x+y-40=0.