Question

一个社会调查机构为了解某社区居民的月收入情况，从该社区成人居民中抽取10000人进行调查，根据所得信息制作了如图所示的样本频率分布直方图．

（Ⅰ）为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，试求其中月收入在[2000，2500）(2000元至2500元之间)的人数；

（Ⅱ）为了估计从该社区任意抽取的3个居民中恰有2人月收入在[2000，3000）的概率，特设计如下随机模拟的方法：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，依次用0，1，2，3，…9的前若干个数字表示月收入在[2000，3000）的居民，剩余的数字表示月收入不在[2000，3000）的居民；再以每三个随机数为一组，代表收入的情况．

假设用上述随机模拟方法已产生了表中的20组随机数，请根据这批随机数估计概率的值．

907  966   191   925   271   932   812   458  569  683  

   431   257   393   027   556   488  730   113   537   989

（Ⅲ）任意抽取该社区的5位居民，用表示月收入在[2000，3000）（元）的人数，求的数学期望与方差．

Answer 1

解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，月收入在[2000，2500）的频率为0．0002×500=0．1，所以应抽取的人数为0．1×100=10人

（Ⅱ）由频率分布直方图可知，月收入在[2000，3000）的频率为0．0002×500＋0．0006×500=0．4

所以可以用数字0，1，2，3表示收入在[2000，3000）的居民，数字4，5，6，7，8，9表示月收入不在[2000，3000）的居民；

观察上述随机数可得，该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000，3000）的有191，271，932，812，431，393，027，730，共有8个．

而基本事件一共有20个，根据古典概型的定义可知该社区3个居民中恰有2个月收入在[2000，3000）的概率为

（Ⅲ）由频率分布直方图可知，任意抽取该社区1位居民，月收入在[2000，3000）（元）的概率为0．4，

所以随机变量服从，所以，