Question

不过原点O的直线l交抛物线y²=2x于A、B两点，且OA⊥OB，则直线l过定点

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线l：x=my+b，代入抛物线y²=2x，利用韦达定理及向量数量积公式即可得到结论．

解答： 解：设直线l：x=my+b，（b≠0），代入抛物线y²=2x，可得y²-2my-2b=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=2m，y₁y₂=-2b，
∴x₁x₂=（my₁+b）（my₂+b）=b²，
∵OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
可得b²-2b=0，
∵b≠0，∴b=2，∴直线l：x=my+2，
∴直线l过定点（2，0）．
故答案为：（2，0）．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，正确运用韦达定理是关键．