Question

（2013•普陀区二模）在平面直角坐标系xOy中，方向向量为

d

=(1，k)的直线l经过椭圆

x2

18

+

y2

9

=1的右焦点F，与椭圆相交于A、B两点
（1）若点A在x轴的上方，且|

OA

|=|

OF

|，求直线l的方程；
（2）若k=1，P（6，0），求△PAB的面积；
（3）当k（k∈R且k≠0）变化时，试求一点C（x₀，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的标准方程和a²=b²+c²，即可得到F及A的坐标，从而得到k的值，即可得到直线l的方程；
（2）利用点斜式得到直线l的方程，与椭圆的方程联立即可得出点A、B的纵坐标，利用S△PAB=

1

2

|y1-y2| |PF|即可得到面积；
（3）利用点斜式得到直线l的方程，与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系，表示出直线AC和BC的斜率，令其和为0解出x₀即可．

解答：解：（1）由题意a²=18，b²=9得c=3，∴F（3，0），
∵|

OA

|=|

OF

|且点A在x轴的上方，得A（0，3），k=-1，

d

=(1，-1)．
直线l：

x-3

1

=

y-0

-1

，即直线l的方程为x+y-3=0
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），当k=1时，直线l：y=x-3
将直线与椭圆方程联立

x2 18 + y2 9 =1 y=x-3

，
消去x得，y²+2y-3=0，解得y₁=-3，y₂=1，
|y₁-y₂|=4，
∴S△PAB=

1

2

×|PF|×|y1-y2|=

1

2

×3×4=6．
（3）假设存在这样的点C（x₀，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0，由题意得，
直线l：y=k（x-3）（k≠0）

x2 18 + y2 9 =1 y=k(x-3)

，消去y得，（1+2k²）x²-12k²x+18（k²-1）=0
△＞0恒成立，

x1+x2= 12k2 1+2k2 x1•x2= 18(k2-1) 1+2k2

kAD=

y1

x1-x0

，kBD=

y2

x2-x0

kAD+kBD=

y1

x1-x0

+

y2

x2-x0

=

k(x1-3)

x1-x0

+

k(x2-3)

x2-x0

=

k(x1-3)(x2-x0)+k(x2-3)(x1-x0)

(x1-x0)(x2-x0)

=0
∴2kx₁x₂-k（x₀+3）（x₁+x₂）+6kx₀=0，

36k(k2-1)

1+2k2

-

12k3(x0+3)

1+2k2

+6kx0=0．
解得x₀=6，所以存在一点（6，0），使得直线AC和BC的斜率之和为0．

点评：熟练掌握椭圆的标准方程和a²=b²+c²、点斜式得到直线l的方程与椭圆的方程联立即可得出根与系数的关系、三角形的面积计算公式是解题的关键．