Question

13．数列{a_n}中，设S_n是它的前n项和，若log₂（S_n+1）=n+1，则数列{a_n}的通项公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{2}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 由已知数列递推式求得S_n，再由a_n=S_n-S_n-1（n≥2）求得数列{a_n}的通项公式．

解答 解：由log₂（S_n+1）=n+1，得S_n+1=2ⁿ⁺¹，∴${S}_{n}={2}^{n+1}-1$，
当n=1时，a₁=S₁=3；
当n≥2时，${a}_{n}={S}_{n}-{S}_{n-1}={2}^{n+1}-1-{2}^{n}+1={2}^{n}$，
当n=1时，上式不成立，
∴${a_n}=\left\{\begin{array}{l}3{，_{\;}}_{\;}n=1\\{2^n}{，_{\;}}n≥2\end{array}\right.$．
故答案为：$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{2}^{n}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，是中档题．