Question

5．已知下列四个命题：
①函数f（x）=$\frac{1}{3}$x-lnx（x＞0），则y=f（x）在区间（$\frac{1}{e}$，1）内无零点，在区间（1，e）内有零点；
②函数f（x）=log₂（x+$\sqrt{1+{x^2}}$），g（x）=1+$\frac{2}{{{2^x}-1}}$不都是奇函数；
③若函数f（x）满足f（x-1）=-f（x+1），且f（1）=2，则f（7）=-2；
④设x₁、x₂是关于x的方程|log_ax|=k（a＞0且a≠1）的两根，则x₁x₂=1，
其中正确命题的序号是①③④．

Answer 1

分析 判断函数零点位置，可判断①；判断函数奇偶性，可判断②；分析函数的对称性和周期性，可判断③；根据对数的运算性质，可判断④．

解答 解：①函数f（x）=$\frac{1}{3}$x-lnx（x＞0），
则y=f（x）在区间（$\frac{1}{e}$，1）内f（x）＞0恒成立，此时函数无零点，
f（1）f（e）＜0，故在区间（1，e）内有零点；
故①正确；
②函数f（x）=log₂（x+$\sqrt{1+{x^2}}$）定义域为R，关于原点对称，
f（-x）+f（x）=log₂（-x+$\sqrt{1+{x^2}}$）+log₂（x+$\sqrt{1+{x^2}}$）=log₂1=0，
即f（-x）=-f（x），故为奇函数；
g（x）=1+$\frac{2}{{{2^x}-1}}$=$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
g（-x）=$\frac{{2}^{-x}+1}{{2}^{-x}-1}$=$\frac{{2}^{x}+1}{{1-2}^{x}}$=-g（x），故为奇函数；
故②错误；
③若函数f（x）满足f（x-1）=-f（x+1），且f（1）=2，
则f（1）=-f（3）=f（5）=-f（7），
∴f（7）=-2；
故③正确；
④设x₁、x₂是关于x的方程|log_ax|=k（a＞0且a≠1）的两根，则log_ax₁=-log_ax₂，
即log_ax₁+log_ax₂=log_ax₁x₂=0，即x₁x₂=1，
故④正确；
故答案为：①③④．

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的零点，函数的奇偶性，函数求值，对数函数的图象和性质等知识点，难度中档．