Question

2．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{n^2}{2}$+$\frac{3n}{2}$．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=a_n+2-a_n+$\frac{1}{{{a_{n+2}}•{a_n}}}$，且数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜2n+$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 （1）利用递推关系即可得出．
（2）b_n=a_n+2-a_n+$\frac{1}{{{a_{n+2}}•{a_n}}}$=2+$\frac{1}{（n+3）（n+1）}$=2+$\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 （1）解：∵S_n=$\frac{n^2}{2}$+$\frac{3n}{2}$，
∴n=1时，a₁=S₁=2；
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{n^2}{2}$+$\frac{3n}{2}$-$[\frac{（n-1）^{2}}{2}+\frac{3（n-1）}{2}]$=n+1．
∴a_n=n+1．
（2）证明：b_n=a_n+2-a_n+$\frac{1}{{{a_{n+2}}•{a_n}}}$=2+$\frac{1}{（n+3）（n+1）}$=2+$\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）$，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=2n+$\frac{1}{2}[（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{6}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$+$（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）]$
=2n+$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）$
＜2n+$\frac{5}{12}$，
∴T_n＜2n+$\frac{5}{12}$．

点评 本题考查了数列递推关系、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．