Question

17．已知函数f（x）=2cos（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位得到的函数图象关于y轴对称，则函数f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值与最小值之和为（　　）

• A． $-\sqrt{3}$
• B． -1
• C． 0
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由y=2cos（2x+φ）的图象右移$\frac{π}{6}$个单位长度得到的图象关于y轴对称，求出φ的值，写出f（x）的解析式，再求出f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大、最小值即可得出结论．

解答 解：由题意知，y=2cos（2x+φ），图象向右平移$\frac{π}{6}$个单位长度后，
得到y=2cos[2（x-$\frac{π}{6}$）+φ]=2cos（2x-$\frac{π}{3}$+φ），
其图象关于y轴对称，
∴-$\frac{π}{3}$+φ=kπ，k∈Z，
即φ=$\frac{π}{3}$+kπ，k∈Z，
又|φ|≤$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{π}{3}$；
f（x）=2cos（2x+$\frac{π}{3}$），
又x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]，
∴f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值为：f（0）=2cos$\frac{π}{3}$=1，
最小值为f（$\frac{π}{3}$）=2cosπ=-2，
∴最大值与最小值的和为f（0）+f（$\frac{π}{3}$）=-1．
故选：B．

点评 本题考查了余弦型函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．