Question

（本小题满分14分）

已知椭圆的离心率为，且经过点．圆.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆C有且只有一个公共点，且与圆相交于两点，

问是否成立？请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）不成立.

【解析】

试题分析：（1）由离心率为，可得：，由椭圆经过点，可得：，即可得椭圆的方程；（2）先将直线的方程与椭圆的方程联立，可得，利用，可得，再求出点的坐标，进而可得点不是线段的中点，即可得不成立.

试题解析：（1）【解析】
∵ 椭圆过点，

∴ . 1分

∵， 2分

∴． 3分

∴椭圆的方程为. 4分

（2）解法1：由（1）知，圆的方程为，其圆心为原点. 5分

∵直线与椭圆有且只有一个公共点，

∴方程组 （*） 有且只有一组解．

由（*）得． 6分

从而,化简得．① 7分

，. 9分

∴ 点的坐标为. 10分

由于，结合①式知，

∴. 11分

∴ 与不垂直. 12分

∴ 点不是线段的中点. 13分

∴不成立. 14分

解法2：由（1）知，圆的方程为，其圆心为原点. 5分

∵直线与椭圆有且只有一个公共点，

∴方程组 （*） 有且只有一组解．

由（*）得． 6分

从而,化简得．① 7分

， 8分

由于，结合①式知，

设,线段的中点为,

由消去,得. 9分

∴ . 10分

若,得 ,化简得,矛盾. 11分

∴ 点与点不重合. 12分

∴ 点不是线段的中点. 13分

∴ 不成立. 14分

考点：1、椭圆的方程；2、直线与圆锥曲线.