Question

已知函数f（x）=ax+lnx，g（x）=e^x，a∈R．
（1）求f（x）的单调区间；（2）若不等式g（x）＜

x-m

x

有解，求实数m的取值范围；
（3）定义：对于函数y=F（x）和y=G（x）在其公共定义域内的任意实数x₀，称|F（x₀）-G（x₀）|的值为两函数在x₀处的差值．证明：当a=0时，函数y=f（x）和f=g（x）在其公共定义域内的所有差值都大于2．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）先求出其导函数，以及导函数大于0，小于0对应的区间即可求函数f（x）的单调区间；
（2）因为关于x的不等式g（x）＜

x-m

x

有解，将问题转化为e^x

x

＜x-m有解，利用常数分离法进行求解；
（3）当a=0时，f（x）=lnx，f（x）与g（x）的公共定义域为（0，+∞），由于|f（x）-g（x）|=|lnx-e^x|=e^x-lnx=e^x-x-（lnx-x），设m（x）=e^x-x，利用导数研究其单调性得出m（x）＞m（0）=1，同样地，设n（x）=lnx-x，x∈（0，+∞），得到n（x）≤n（1）=-1，从而有|f（x）-g（x）|=m（x）-n（x）＞1-（-1）=2，即在其公共定义域内的所有差值都大干2．

解答： 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=（ax+lnx）′=a+

1

x

，
①当a=0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）为单调递增函数；
②当a＜0时，f′（x）=0，得x=-

1

a

，当x∈（0，-

1

a

）时，f′（x）＞0；当x∈（-

1

a

，+∞）时，f′（x）＜0；
∴f（x）在（0，-

1

a

）为单调递增函数；在（-

1

a

，+∞）为单调递减函数；
③当a＞0时，f′（x）=0，得x=-

1

a

，当x∈（0，-

1

a

）时，f′（x）＜0；当x∈（-

1

a

，+∞）时，f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，-

1

a

）为单调递减函数；在（-

1

a

，+∞）为单调递增函数．
（2）由题意，不等式g（x）＜

x-m

x

有解，即e^x

x

＜x-m有解，
因此只须m＜x-e^x

x

，x∈（0，+∞），
设h（x）=x-e^x

x

，x∈（0，+∞），h′（x）=1-e^x（

x

+

1

2 x

），
因为

x

+

1

2 x

≥2

1 2

=

2

＞1，且e^x＞1，∴1-e^x（

x

+

1

2 x

）＜0，故h（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴h（x）＜h（0）=0，故m＜0．
（3）当a=0时，f（x）=lnx，f（x）与g（x）的公共定义域为（0，+∞），
|f（x）-g（x）|=|lnx-e^x|=e^x-lnx=e^x-x-（lnx-x），设m（x）=e^x-x，x∈（0，+∞），
因为m′（x）=e^x-1＞0，m（x）在（0，+∞）上是增函数，m（x）＞m（0）=1，
又设n（x）=lnx-x，x∈（0，+∞），
因为n′（x）=

1

x

-1，当x∈（0，1）时，n′（x）＞0，n（x）在（0，1）上是增函数，
当x∈（1，+∞）时，n′（x）＜0，n（x）在（1．+∞）上是减函数，
∴当x=1时，n（x）取得极大值点，
即n（x）≤n（1）=-1，故|f（x）-g（x）|=m（x）-n（x）＞1-（-1）=2，
即在其公共定义域内的所有差值都大干2．

点评：本题考查利用导数求函数的单调区间的方法，求函数的导数以及利用导数研究函数的极值．注意函数的定义域，此题是一道中档题，考查学生计算能力．