Question

设抛物线C：的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点．
(1)若，求线段中点M的轨迹方程；
(2)若直线AB的方向向量为，当焦点为时，求的面积；
(3)若M是抛物线C准线上的点，求证：直线的斜率成等差数列．

Answer 1

(1)  ；(2) 。
(3)显然直线的斜率都存在，分别设为．
点的坐标为．
联立方程组得到 ，
，得到．

试题分析：
思路分析：(1) 利用“代入法”。
(2) 联立方程组得，，应用弦长公式求 
，得到面积。
(3)直线的斜率都存在，分别设为．
点的坐标为．
设直线AB：，代入抛物线得， 确定 ，
，得到．
解：(1) 设，，焦点，则由题意，即 
所求的轨迹方程为，即 
(2) ，，直线，
由得，， 
， 。
(3)显然直线的斜率都存在，分别设为．
点的坐标为．
设直线AB：，代入抛物线得， 所以，
又，，
因而，
因而 
而，故．
点评：中档题，涉及“弦中点”问题，往往利用“代入法”求轨迹方程。涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题，往往通过联立方程组，应用韦达定理，简化解题过程。