Question

8．已知侧棱与底面垂直的三棱柱的底面是边长为2$\sqrt{3}$的正三角形，三棱柱存在一个与上、下底面及所有侧面都相切的内切球，则该棱柱的外接球与内切球的半径之比为（　　）

• A． $\sqrt{3}$：$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{5}$：1
• C． $\sqrt{5}$：$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$：1

Answer 1

分析 利用底面是边长为2$\sqrt{3}$的正三角形，可得正三角形的内切圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{6}×2\sqrt{3}$=1，外接圆的半径为2，进而得出内切球的半径、三棱柱的高，求出棱柱的外接球的半径，即可得出棱柱的外接球与内切球的半径之比．

解答 解：∵底面是边长为2$\sqrt{3}$的正三角形，
∴正三角形的内切圆的半径为$\frac{\sqrt{3}}{6}×2\sqrt{3}$=1，外接圆的半径为2，
∴内切球的半径$\frac{\sqrt{3}}{6}×2\sqrt{3}$=1，
∴三棱柱的高为2，
∴棱柱的外接球的半径为$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴该棱柱的外接球与内切球的半径之比为$\sqrt{5}$：1，
故选：B．

点评 本题考查棱柱的外接球与内切球的半径之比，考查学生的计算能力，正确求出棱柱的外接球与内切球的半径之比是关键．