Question

已知定义域为[0，1]的函数同时满足以下三个条件：①对任意，总有；②；③若，则有成立.
(1) 求的值；(2) 函数在区间[0,1]上是否同时适合①②③?并予以证明
(3) 假定存在,使得,且,求证:

Answer 1

(1)  (2) 函数在区间[0,1]上同时适合①②③.
(3)运用反证法思想来证明不等式的成立性。假设不成立，则可知来证明。

试题分析：（1）解：由①知：；由③知：，即；
∴ 
(2 ) 证明：由题设知：；
由知，得，有；
设，则，；
∴
即    
∴函数在区间[0,1]上同时适合①②③.
(3) 证明：若,则由题设知:,且由①知,
∴由题设及③知：
矛盾;
若,则则由题设知：,且由①知,
∴同理得：,矛盾;故由上述知:
点评：本题考查函数值的求法和函数恒成立问题的应用，解题时要认真审题，仔细解答