Question

已知三角形ABC中，AB=2，AC=

2

BC．
（1）求点C的轨迹方程；
（2）求三角形ABC的面积的最大值．

Answer 1

考点：正弦定理,轨迹方程

专题：计算题,解三角形,直线与圆

分析：（1）以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0），设C（x，y），由条件得到方程，化简方程，整理配方即可得到所求轨迹方程；
（2）运用圆的方程，可得|y|的最大值，由三角形的面积公式，计算即可得到最大值．

解答： 解：（1）以AB为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，
则A（-1，0），B（1，0），设C（x，y），
由AC=

2

BC，得（x-3）²+y²=8，即为点C的轨迹方程，
所以点C的轨迹是以（3，0）为圆心，半径为2

2

的圆．
（2）由于AB=2，所以S_△ABC=

1

2

×2|y|=|y|．
因为（x-3）²+y²=8，所以|y|≤2

2

，
所以S△ABC≤2

2

，
即三角形ABC的面积的最大值为2

2

．

点评：本题考查轨迹方程的求法：直接法，考查圆的方程的运用，考查三角形面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题．