题目内容
在长方形ABCD中，AB=4，AD=2，O时它的中心，过点O任作一直线与长方形的边交于M，N两点，P是长方形边界上任意一点，则
•
的最大值为 ．
| PM |
| PN |
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：如图所示，建立直角坐标系．
+
=
．于是
•
=(
-
)•(
-
)=
•
+
2，当且仅当点P为矩形的一个顶点，点M，N分别为边AB、CD的中点时取得最大值．
| OM |
| ON |
| 0 |
| PM |
| PN |
| OM |
| OP |
| ON |
| OP |
| OM |
| ON |
| OP |
解答：
解：如图所示，
建立直角坐标系．
+
=
．
则
•
=(
-
)•(
-
)
=
•
-
•(
+
)+
2
=
•
+
2
≤(
)2-12=4，
当且仅当点P为矩形的一个顶点，点M，N分别为边AB、CD的中点时取等号．
故最大值为：4．
故答案为：4．
建立直角坐标系．| OM |
| ON |
| 0 |
则
| PM |
| PN |
| OM |
| OP |
| ON |
| OP |
=
| OM |
| ON |
| OP |
| OM |
| ON |
| OP |
=
| OM |
| ON |
| OP |
≤(
| 5 |
当且仅当点P为矩形的一个顶点，点M，N分别为边AB、CD的中点时取等号．
故最大值为：4．
故答案为：4．
点评：本题考查了向量的数量积运算性质、向量的三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，考查了数形结合的思想方法，属于中档题．
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| 2 |
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A、
| ||
B、-
| ||
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