Question

【题目】如图所示，在棱长为2的正方体中， 分别为和的中点.

(1)求证： 平面；

(2)在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) 见解析(2) =

【解析】试题分析：（1）分别以所在的直线为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，面的一个法向量是，由即可证得；
（2）设点求解平面的一个法向量为，平面的一个法向量利用平面的法向量的夹角与二面角的大小之间的关系建立方程求解即可．

试题解析：

(1)证明：如图所示，分别以所在的直线为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，由已知得， ， ， ， ， ， ， ，

∵平面的一个法向量是，

又∵，

∴，

∴，而平面，

∴平面.

(2)解：设点，

平面的一个法向量为，

则，∵， ，

∴，取，则， ，∴，

平面的一个法向量，

依题意知， 或，

∴，即，解得或 (舍)，

∵，

∴在棱上存在一点，当的长为时，二面角的大小为.