Question

【题目】已知椭圆的离心率为，椭圆和抛物线交于两点，且直线恰好通过椭圆的右焦点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知椭圆的左焦点为，左、右顶点分别为，经过点的直线与椭圆交于两点，记与的面积分别为，求的最大值．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析：（1）先得，则，结合离心率及可得方程；

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易得，当直线的斜率存在时，设直线的方程为． ，与椭圆联立得， ，利用韦达定理代入求解即可.

试题解析：

解：（1）不妨设，则，

又， ，联立解得， ．

∴椭圆的标准方程为．

（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为．

此时， ，

与的面积相等．

则．当直线的斜率存在时，

设直线的方程为． ，

设， ， ．

联立，

化为： ，

， ， ，

与的面积相等．

则 ．

时， ．当且仅当时取等号，

∴的最大值为．