Question

已知函数f(x)＝3^x－.

(1)若f(x)＝2，求x的值；

(2)判断x>0时，f(x)的单调性；

(3)若3^tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[，1]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

解：(1)当x≤0时，f(x)＝3^x－3^x＝0，

∴f(x)＝2无解．

当x>0时，f(x)＝3^x－，令3^x－＝2.

∴(3^x)²－2·3^x－1＝0，∴3^x＝1±.

∵3^x>0，∴3^x＝1－(舍)，∴3^x＝1＋，

∴x＝log₃(1＋)．

(2)当x>0，f(x)＝3^x－.

∵y＝3^x在(0，＋∞)上单调递增，y＝在(0，＋∞)上单调递减．

∴f(x)＝3^x－在(0，＋∞)上单调递增．

(3)∵t∈，∴f(t)＝3^t－>0.

∴3^tf(2t)＋mf(t)≥0化为≥0.

即3^t＋m≥0，即m≥－3^2t－1.

令g(t)＝－3^2t－1，则g(t)在上递减，

∴g(x)_max＝－4.

∴所求实数m的取值范围是[－4，＋∞)．