题目内容

5．已知A、B、C、D、E五所高校举行自主招生考试，某同学决定按A、B、C、D、E的顺序参加考试．假设该同学参加每所高校的考试获得通过的概率为$\frac{1}{3}$．
（1）如果该同学五所高校的考试都参加，求在恰有两所通过的条件下，不是连续两所通过的概率；
（2）如果该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加后面高校的考试，假设参加每所高校考试所需的费用均为162元，试求该同学参加考试所需费用X的数学期望．

分析 （1）先求出该同学恰好通过两所高校自主招生考试的概率和恰好通过两所但不是连续两所的概率，由此能求出在恰有两所通过的条件下，不是连续两所通过的概率．
（2）该同学参加考试所需费用X的可能取值为162，324，486，648，810，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）该同学恰好通过两所高校自主招生考试的概率为${C}_{5}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（1-\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{80}{243}$，
恰好通过两所但不是连续两所的概率为（${C}_{5}^{2}-4$）（$\frac{1}{3}$）2（1-$\frac{1}{3}$）3=$\frac{16}{81}$，
∴在恰有两所通过的条件下，不是连续两所通过的概率为：
p=$\frac{{C}_{5}^{2}-4}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$．
（2）该同学参加考试所需费用X的可能取值为162，324，486，648，810，
P（X=162）=$\frac{1}{3}$，
P（X=324）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$，
P（X=486）=$（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）$=$\frac{4}{27}$，
P（X=648）=$（\frac{2}{3}）^{3}（\frac{1}{3}）$=$\frac{8}{81}$，
P（X=810）=$（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{16}{81}$，
∴X的分布列为：

 X 162 324 486 648 810
 P $\frac{1}{3}$ $\frac{2}{9}$ $\frac{4}{27}$ $\frac{8}{81}$ $\frac{16}{81}$
E（X）=$162×\frac{1}{3}+324×\frac{2}{9}$+$486×\frac{4}{27}+648×\frac{8}{81}$+810×$\frac{16}{81}$=422（元）．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意条件概率公式的合理运用．

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