Question

20．设 x，y，z∈R⁺，且x+y+z=1，求证：$\frac{{2{x^2}}}{y+z}+\frac{{2{y^2}}}{z+x}+\frac{{2{z^2}}}{x+y}≥1$．

Answer 1

分析 由x，y，z∈R⁺，且x+y+z=1，可得$\frac{2{x}^{2}}{y+z}$+$\frac{y+z}{2}$≥2$\sqrt{\frac{2{x}^{2}}{y+z}•\frac{y+z}{2}}$=2x，同理可得$\frac{2{y}^{2}}{z+x}$+$\frac{z+x}{2}$≥2y，$\frac{2{z}^{2}}{x+y}$+$\frac{x+y}{2}$≥2z，累加即可得证．

解答 证明：由x，y，z∈R⁺，且x+y+z=1，
可得$\frac{2{x}^{2}}{y+z}$+$\frac{y+z}{2}$≥2$\sqrt{\frac{2{x}^{2}}{y+z}•\frac{y+z}{2}}$=2x，
同理可得$\frac{2{y}^{2}}{z+x}$+$\frac{z+x}{2}$≥2y，
$\frac{2{z}^{2}}{x+y}$+$\frac{x+y}{2}$≥2z，
三式相加，可得$\frac{2{x}^{2}}{y+z}$+$\frac{2{y}^{2}}{z+x}$+$\frac{2{z}^{2}}{x+y}$+x+y+z≥2（x+y+z），
即为$\frac{2{x}^{2}}{y+z}$+$\frac{2{y}^{2}}{z+x}$+$\frac{2{z}^{2}}{x+y}$≥x+y+z，
则$\frac{2{x}^{2}}{y+z}$+$\frac{2{y}^{2}}{z+x}$+$\frac{2{z}^{2}}{x+y}$≥1成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用均值不等式，以及不等式的可加性，考查推理和运算能力，属于中档题．