Question

17．已知x，y都是正实数，求证：
（1）$\frac{x}{y}$$+\frac{y}{x}$≥2；
（2）（x+y）（x²+y²）（x³+y³）≥8x³y³．

Answer 1

分析 （1）运用基本不等式：a+b≥2$\sqrt{ab}$（当且仅当a=b取得等号），即可得证；
（2）运用基本不等式和不等式的性质：可乘性，即可得到证明．

解答 证明：（1）x，y都是正实数，
可得$\frac{x}{y}$$+\frac{y}{x}$≥2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{y}{x}}$=2，（当且仅当x=y取得等号）；
（2）（x+y）（x²+y²）（x³+y³）
≥（2$\sqrt{xy}$）•（2xy）•（2$\sqrt{{x}^{3}{y}^{3}}$）
=8xy•（xy）²=8x³y³，（当且仅当x=y取得等号）．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用基本不等式，考查化简推理的能力，属于基础题．