Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，求该双曲线的方程．

Answer 1

分析：由题意因为圆C：x²+y²-6x+5=0把它变成圆的标准方程知其圆心为（3，0），利用双曲线的右焦点为圆C的圆心及双曲线的标准方程建立a，b的方程．再利用双曲线的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，建立另一个a，b的方程．

解答：解：因为圆C：x²+y²-6x+5=0?（x-3）²+y²=4，由此知道圆心C（3，0），圆的半径为2，
又因为双曲线的右焦点为圆C的圆心而双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
∴a²+b²=9①
又双曲线的两条渐近线均和圆C：x²+y²-6x+5=0相切，而双曲线的渐近线方程为：y=±

b

a

x⇒bx±ay=0⇒

3b

a2+b2

=2   ②
连接①②得：

b=2 a2=5

．
∴双曲线的方程：

x2

5

-

y2

4

=1．

点评：此题重点考查了直线与圆相切的等价条件，还考查了双曲线及圆的标准方程及利用方程的思想进行解题．