Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1(b＞a＞0)，O为坐标原点，离心率e=2，点M(

5

，

3

)在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且

OP

•

OQ

=0．问：

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

是否为定值？若是请求出该定值，若不是请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由于离心率e=2，点M(

5

，

3

)在双曲线上，可得

5 a2 - 3 b2 =1 c a =2 c2=a2+b2

，解得即可．
（2）设直线OP方程为y=kx（k≠0），与双曲线方程联立可得x²，y²．进而得到|OP|²，同理得到|OQ|²，即可证明为定值．

解答：解：（1）∵离心率e=2，点M(

5

，

3

)在双曲线上，∴

5 a2 - 3 b2 =1 c a =2 c2=a2+b2

，解得

a2=4 b2=12 c2=16

．
故所求双曲线的方程为

x2

4

-

y2

12

=1．
（2）设直线OP方程为y=kx（k≠0），联立3x²-y²=12．
联立

y=kx 3x2-y2=12

解得

x2= 12 3-k2 y2= 12k2 3-k2

，∴|OP|²=x2+y2=

12(k2+1)

3-k2

．
则OQ方程为y=-

1

k

x，同理解得|OQ|2=

12(k2+1)

3k2-1

．．
∴

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

3-k2+3k2-1

12(k2+1)

=

1

6

．是定值．

点评：本题综合考察连体衣的标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题转化为方程联立得到方程组、两点间的距离公式、定值问题等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题．