Question

11．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+（2a-2）x，x≤0}\\{{x}^{3}-（3a+3）{x}^{2}+ax，x＞0}\end{array}\right.$，若曲线y=f（x）在点P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3，其中x₁，x₂，x₃互不相等）处的切线互相平行，则a的取值范围是（-1，2）．

Answer 1

分析 对函数f（x）分段研究，求出各段的导数，判断出在x≤0时切线的斜率范围，由此得到在x＞0时，斜率的取值范围，由此得到a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+（2a-2）x，x≤0}\\{{x}^{3}-（3a+3）{x}^{2}+ax，x＞0}\end{array}\right.$，
∴f′（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2a-2，x≤0}\\{3{x}^{2}-6（a+1）x+a，x＞0}\end{array}\right.$，
∵曲线y=f（x）在点P_i（x_i，f（x_i））（i=1，2，3，其中x₁，x₂，x₃互不相等）处的切线互相平行，
即y=f′（x）在点P_i（x_i，f（x_i））处的值相等．
∵当x≤0时，f′（x）=-2x+2a-2≥2a-2，
∴当x＞0时，f′（x）必须满足，
$\left\{\begin{array}{l}{a＞2a-2}\\{a+1＞0}\end{array}\right.$，
∴-1＜a＜2，
故答案为（-1，2）

点评 本题主要考查导数的几何意义，解题中运用转化化归的数学思想．