Question

6．曲线y=lnx上的点到直线y=x+1的最短距离是（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． 2
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 求出和y=x+1平行的直线和y=lnx相切，求函数的导数，利用导数的几何意义求出切点坐标即可得到结论．

解答 解：设与y=x+1平行的直线与y=lnx相切，
则切线斜率k=1，
∵y=lnx，∴${y}^{'}=\frac{1}{x}$，
由${y}^{'}=\frac{1}{x}=1$，得x=1．
当x=1时，y=ln1=0，即切点坐标为P（1，0），
则点（1，0）到直线的距离就是线y=lnx上的点到直线y=x+1的最短距离，
∴点（1，0）到直线的距离为：d=$\frac{|1-0+1|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
∴曲线y=lnx上的点到直线l：y=x+1的距离的最小值为$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题主要考查导数的几何意义，利用平移切线法结合导数的几何意义是解决本题的关键．