题目内容

16．已知函数f（x）=2x3-12x2+18x+1．
（1）求函数f（x）的单调区间
（2）求函数f（x）在[-1，4]上的最值．

分析 （1）求出f′（x）=6x2-24x+18=6（x2-4x+3），利用导数性质能示求出函数f（x）的单调区间．
（2）x、f′（x）、f（x）的取值变化情况列表讨论，由此利用导数性质能求出函数f（x）在[-1，4]上的最值．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）∵f（x）=2x3-12x2+18x+1，
∴f′（x）=6x2-24x+18=6（x2-4x+3），
令f′（x）＞0，得x＞3或x＜1，
令f′（x）＜0，得1＜x＜3，
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，1）（3，+∞），单调减区间为（1，3）．…（6分）
（2）x、f′（x）、f（x）的取值变化情况如下表

x-1（-1，1）1（1，3）3（3，4）4
f′（x）+0-0+
f（x）-31增极大值减极小值增9
f（1）=9，f（3）=1，
由上表可知，函数f（x）在[-1，4]上的最大值9，最小值-31．…（12分）

点评 本题考查函数的单调区间的求法，考查函数在闭区间上的最值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．

练习册系列答案
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6．曲线y=lnx上的点到直线y=x+1的最短距离是（　　）
A．$\sqrt{2}$B．2C．$\frac{\sqrt{2}}{2}$D．1
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（1）求函数f（x）的单调区间；
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4．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x3-$\frac{1}{2}$ax2+x（x∈R）．
（Ⅰ）若函数y=f（x）在（0，+∞）上为增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a=1，当x＞1时，求证：f（x）＞x-1．
11．如果集合P={x|x＞-1}，那么（　　）
A．0⊆PB．{0}∈PC．∅∈PD．{0}⊆P
1．给出下列三个函数
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其中具有奇偶性的函数是（　　）
A．0B．1C．2D．3
8．阅读下列命题：
①若点P（a，2a） （a≠0）为角α终边上一点，则sin α=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
②同时满足sin α=$\frac{1}{2}$，cos α=$\frac{\sqrt{3}}{2}$的角有且只有一个；
③设tan α=$\frac{1}{2}$且π＜α＜$\frac{3π}{2}$，则sin α=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$；
④函数y=sin（$\frac{2}{3}$x+$\frac{π}{2}$）是偶函数
其中正确命题的序号是③④．
5．已知f（x）=a（x-lnx）+$\frac{2}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$，a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a=$\frac{1}{2}$时，证明：f（x）＞f′（x）+$\frac{5}{4}$对于任意的x∈[1，2]成立．
13．已知命题p1：函数y=2x-2-x在R上为增函数，
p2：函数y=2x+2-x在R上为减函数，则在命题
①p1∨p2②p1∧p2③（￢p1）∨p2④p1∧（￢p2）中真命题是①④．

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