Question

14．在△ABC中，若sin（A+B-C）+sin（B-A-C）=0，试判断△ABC的形状．

Answer 1

分析 利用三角形内角和定理，诱导公式，和差化积公式化简已知等式可得-2cosAsin（C-B）=0，从而可得cosA=0，或sin（C-B）=0，结合范围A∈（0，π），C-B∈（-π，π），从而解得A=$\frac{π}{2}$，或C=B，即可得解．

解答 解：∵sin（A+B-C）+sin（B-A-C）=0，A+B+C=π，
∴sin（π-2C）+sin（2B-π）=0，
∴sin2C-sin2B=0，可得：2cos（C+B）sin（C-B）=0，
∴-2cosAsin（C-B）=0，
∴cosA=0，或sin（C-B）=0，
∵A∈（0，π），C-B∈（-π，π），
∴解得：A=$\frac{π}{2}$，或C=B，
∴△ABC为直角三角形或等腰三角形．

点评 此题考查了三角形内角和定理，诱导公式，和差化积公式的应用，考查了三角函数图象和性质，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于中档题．