Question

5．设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₃=5，S₇=49；数列{b_n}的前n项和为T_n，且2b_n-T_n=2．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n（n∈N₊），求数列{c_n}的前n项和P_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式可得a_n．利用递推关系可得b_n．
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₃=5，S₇=49，∴a₁+2d=5，7a₁+$\frac{7×6}{2}$d=49，
解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
∵2b_n-T_n=2，∴n=1时，2b₁-b₁=2，解得b₁=2．
n≥2时，2b_n-1-T_n-1=2，可得：2b_n-2b_n-1+b_n=0，化为：${b}_{n}=\frac{2}{3}{b}_{n-1}$．
∴数列{b_n}是等比数列，首项为2，公比为$\frac{2}{3}$．
∴${b}_{n}=2×（\frac{2}{3}）^{n-1}$．
（2）c_n=a_n•b_n=（4n-2）×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
∴数列{c_n}的前n项和P_n=$2+6×（\frac{2}{3}）$+$10×（\frac{2}{3}）^{2}$+…+（4n-2）×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$，
$\frac{2}{3}{P}_{n}$=2×$\frac{2}{3}$+6×$（\frac{2}{3}）^{2}$+…+（4n-6）×$（\frac{2}{3}）^{n-1}$+（4n-2）×$（\frac{2}{3}）^{n}$，
∴$\frac{1}{3}{P}_{n}$=2+4$[\frac{2}{3}+（\frac{2}{3}）^{2}+…+（\frac{2}{3}）^{n-1}]$-（4n-2）×$（\frac{2}{3}）^{n}$=2+4×$\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{2}{3}）^{n-1}]}{1-\frac{2}{3}}$-（4n-2）×$（\frac{2}{3}）^{n}$=10-（4n+10）×$（\frac{2}{3}）^{n}$，
∴P_n=30-（12n+30）×$（\frac{2}{3}）^{n}$．

点评 本题考查了数列的递推关系、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．